Основные понятия о Нестандартном анализе

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
о нестандартном анализе

МОСКВА 2009 г.

СОДЕРЖАНИЕ

ОТ АВТОРА
Глава 1. АКТУАЛЬНЫЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Глава 2. ЭКСКУРС В ИСТОРИЮ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Глава 3. НЕСТАНДАРТНЫЙ АНАЛИЗ ЧЕРЕЗ ПРИЗМУ ВЗГЛЯДОВ РОБИНСОНА
Глава 4. БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Глава 5. НЕМНОГО О ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЛАХ
Глава 6. ГМПЕРДЕЙСТВИТЕЛЬНАЯ ПРЯМАЯ
Глава 7. ПРИМЕР НЕАРХИМЕДОВОЙ ЧИСЛОВОЙ СИСТЕМЫ
Глава 8. НОВЫЕ ТРЕБОВАНИЯ К ГИПЕРДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМ ЧИСЛАМ И ОСНОВНАЯ ГИПОТЕЗА
Глава 9. СЛЕДСТВИЯ ОСНОВНОЙ ГИПОТЕЗЫ
Глава 10. ПОСТРОЕНИЕ СИСТЕМЫ ГИПЕРДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Глава 11. НАИВНЫЕ ОСНОВЫ ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫХ МЕТОДОВ
Глава 12. ТЕХНИКА ГИПЕРПРИБЛИЖЕНИЙ
Глава 13. МЕТОДЫ НЕСТАНДАРТНОГО АНАЛИЗА В СОВРЕМЕННОЙ ЭКОНОМИКЕ
ЛИТЕРАТУРА

От автора
Нестандартный анализ проявился в 1960 году. В то время Абрахам Робинсон , специалист по теории моделей, понял каким образом методы математической логики позволяют оправдать классиков математического анализа XVII и XVIII вв., поставив на строгую основу их рассуждения, использующие «бесконечно большие» и «бесконечно малые величины». Здесь, читатель, пойми, что именно в эти Века «зародилось» ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ, отцами-основателями которого по праву считаются Исаак Ньютон и Готфрид Вильгельм Лейбниц . Они то первыми и начали дисскуссию о «флюксиях» и «истечении бесконечно малых». На очень солидной основе читатель найдет это в книге замечательного русского математика Лузина Николая Николаевича «Диффнренциальное исчисление» (см. на сайте: http://www.vixri.ru/). Таким образом, речь идет не о каких-то новых «нестандартных» методах, не имеющих ничего общего с традиционной математикой, а о развитии новых средств внутри стандартной (теоретико - множественной в первую очередь) математики.
Нестандартный анализ остался бы любопытным курьезом, если бы единственным его приложением было обоснование рассуждений классиков математического анализа. На деле он оказался полезным и даже не заменимым при развитии новых математических теорий; в этом случае Нестандартный анализ можно сравнить с мостом, переброшенным через реку, соединяющим, или более правильно объединяющим, разные научные дисциплины. Постройка моста не расширяет доступной нам территории, но сокращает путь с одного берега на другой. Происходит это по той простой причине, что он затрагивает теоретико множественные проблемы, то есть основания математики. Сегодня не секрет, что в основе всех наук лежит математика. Подобным образом нестандартный анализ делает доказательства многих теорем короче. В математической литературе есть красочное название «охота на уток». Утки — это некоторые особые решения уравнений с малым параметром, изучаемые в теории релаксационных колебаний;
впервые эти решения были обнаружены у уравнения ) Ван-дер-Поля, и поформе они напоминали летящую утку. Теория уток представляет собой, по
мнению автора, наиболее яркое применение методов нестандартного анализа. Следует отметить, что все результаты могут быть сформулированы и доказаны без использования нестандартного анализа (это относится ко всем применениям нестандартного анализа вообще). Однако это сделало бы все формулировки более громоздкими, а все доказательства более длинными и менее интуитивно ясными. Не случайно утки были открыты именно с помощью нестандартного анализа и в связи с ним. Быстро-медленная система в математике — это динамическая система, в которой присутствуют процессы, происходящие в разных масштабах времени. Фазовые переменные такой системы делятся на два класса: «быстрые» и «медленные» переменные. Скорость изменения «быстрых» переменных почти во всех точках фазового пространства много быстрее скорости изменения «медленных» переменных. Траектории таких систем состоят из чередующихся участков медленного «дрейфа» и быстрых «срывов». Быстро-медленные системы описывают различные физические и иные явления, в которых постепенное эволюционное накопление малых изменений со временем приводит к скачкообразному переходу системы на новый динамический режим.
Читатель пожелающий познакомитьтся ближе с решением подобных дифференциальных уравнений с малыми параметрами, убедится, что язык нестандартного анализа облегчит ему знакомство с теорией уток и с теорией релаксационных колебаний вообще. Рекламируя исчисление бесконечно малых, Лейбниц писал: «Отличие от стиля Архимеда состоит только в выражениях, которые при нашем методе более прямые и более подходящие для искусства изобретать». То же самое можно сказать относительно нестандартного анализа (который, собственно говоря, и является настоящим исчислением бесконечно малых), заменив Архимеда на Бурбаки . Конечно, нестандартный анализ не дает такой экономии мышления, какую дало в свое время дифференциальное и интегральное исчисление. Однако и та экономия, которую он дает, может оказаться существенной в трудных задачах теории сингулярных возмущений нелинейных уравнений
Однако, быть может главное, значение нестандартного анализа состоит в другом. И об этом мы с вами сейчас поговорим. Язык нестандартного анализа оказался удобным средством построения математических моделей физических явлений. Идеи и методы нестандартного анализа могут стать важной частью будущей физической картины мира. Во всяком случае уже сейчас многие специалисты по математической физике и смежным дисциплинам активно используют нестандартный анализ в своей работе (например: 1. Чернов В. М. МЕТОДЫ НЕСТАНДАРТНОГО АНАЛИЗА В РАСПОЗНАВАНИИ ОБРАЗОВ Институт систем обработки изображений РАН, Россия 443001, Самара, ул. Молодогвадейская, 151 e-mail: vche@smr.ru, 2. В.Г. ДУБРО Вариант объединения наук Фонд "Достижения естествознания для решения проблем общества” Санкт-Петербург, (812)352-88-95, email: dubrovg@mail.ru , 3. А. К. Звонкий, М. А. Шубин НЕСТАНДАРТНЫЙ АНАЛИЗ И СИНГУЛЯРНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, УДК 517.93).
В рамках программы создания устойчивого базиса и аксиоматизации математики, нестандартный анализ позволяет с новой точки зрения посмотреть на многие рассуждения классиков математического анализа, кажу-щиеся нестрогими, но приводящие к успеху, и, путем относительно небольших уточнений, сделать их удовлетво¬ряющими современным критериям строгости. Сразу встает вопрос - о методах нестандартного анализа. Методы нестандартного анализа, в современном понимании, состоят в привлечении двух различных: «стандартной» и «нестандартной», моделей теории множеств для исследования конкретных математических объектов и проблем. Такие методы получили существенное развитие во второй половине ХХ века и сформировались в несколько направлений. Разберем, уважаемый читатель, что это за направления.
Во-первых - это классический или робинсоновский нестандартный анализ. Робинсоновский нестандартный анализ характеризуется широким использованием давно известных в практике естествознания, но долгое время запрещенных в математике ХХ века концепций, связанных с представлениями об актуальных бесконечно больших и актуальных бесконечно малых величинах. В этой связи сейчас за ним закрепилось наименование инфинитезимальный анализ, (см. Гордон Е. И., Кусраев А. Г., Кутателадзе С. С. Инфинитезимальный анализ. — 2-е изд., дополн. и испр. — Новосибирск, УДК 517.11+517.08, БВК 22.16 К94, 526 с., ISBN 5-86134-132-Х. ), в аннотации к этой работе сказано: «Инфинитезимальный анализ — один из наиболее разработанных разделов, составляющих нестандартные методы анализа. В его рамках получили строгое обоснование метод неделимых и монадология, восходящие к глубокой древности. В монографии подробно излагаются теоретико-множественные формализмы, позволяющие использовать актуальные бесконечно большие и бесконечно малые величины, детально изучаются приложения инфинитезимальных методов в топологии, теории меры, оптимизации и гармоническом анализе. Книга ориентирована на широкий круг читателей, интересующихся современным состоянием и приложениями классического нестандартного анализа».
Все это выразительно напоминает о классическом анализе бесконечно малых. Инфинитезимальный анализ бурно развивается и уже внес капитальные изменения в систему общематематических представлений. Прежде всего это связано с тем, что в нем предложено новое понимание метода неделимых, восходящего к глубокой древности, и осуществлен синтез подходов к дифференциальному и интегральному исчислению, предложенных его основоположниками. В наши дни инфинитезимальный анализ находит широкое распространение и проникает во все разделы современной математики. Наибольшие изменения происходят в этой связи в:
? негладком анализе,
? в теории вероятностей,
? теории меры,
? качественной теории дифференциальных уравнений,
? математической экономике,
? распознавании образов,
? теории множеств и т.д.
Второе направление — булевозначный анализ, который характеризуется широким использованием таких терминов, как:
? спуски и подъемы,
? циклические оболочки и миксинги,
? В-множества,
? изображения обектов в моделях.
Развитие и становление этого направления (второго по нашей классификации), связано со знаменитыми работами П. Дж. Коэна по гипотезе континуума, тематика книги которого несомненно охватывает широкий круг математиков: в первую очередь специалистов по теории множеств, математической логике и основаниям математики. На мой взгляд, сегодня – в ХХI веке, книга Коэна также полезна преподавателям, аспирантам и студентам старших курсов университетов и пединститутов, и даже должна быть у них на полке постоянно. Я так считаю, потому что сегодня идет переосмысление основ анализа и базиса дифференциального исчисления. Ставится вопрос о мере использования дифференциальных уравнений в естествознании. (см. Револьт Пименов
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ?УРАВНЕНИЯ:?НАСКОЛЬКО ОНИ ОПРАВДАНЫ? На сайте http://www.vixri.ru/). Это настолько важно, что приведу выдержку из книги Револьта:
— Постановка вопроса. В последние десятилетия в физике и около
физики много толкуют (см. Акчурин И. А. Единство естественнонаучного знания. — М.: Наука, 1974; Зельдович Я. Б. и Михайлов А. С. Флуктуационная кинетика реакций /УФН, 1987, т. 153, №3, 469-486; Пригожий И. Самоорганизация в неравновесных системах. — М.: Мир, 1979; Хакен Г. Синергетика. — М.: Мир, 1980.) о смене парадигмы, о поисках по-настоящему
сумасшедшей теории, словом, выражают неудовлетворение сложившимся
экспликативным инструментарием. Особенно заметным стало это после
того, как пригожинский подход к кинетике химических реакций стал рас-
сматриваться как АЛЬТЕРНАТИВА каноническому физическому видению.
После того, как проблема объяснения высокой организованности живой
природы стала рассматриваться НА ФОНЕ энтропийной организации при-
роды физической и, соответственно, превратилась в проблему объяснения
самоорганизации живого из неживого. Мы не намерены входить ни в ре-
шение этой проблемы (или объяснять, что это псевдопроблема), ни в обзор
решений этой проблемы. Мы хотим заняться более частным, можно даже
сказать "узким" вопросом, который однако входит неотъемлемой состав-
ной частью в общую проблему, как знает каждый. Именно, мы займемся
вопросом о ПРИМЕНИМОСТИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. Ведь уже
подробностями мелкого порядка выглядят колебания: пользоваться ли
дифференциальными уравнениями ЛИНЕЙНЫМИ (как обычно в физике)
или же НЕЛИНЕЙНЫМИ, например, третьего порядка (как И.Пригожин).
Это вроде как пользоваться попавшей в словари частью русского языка и
не попавшей, но язык-то все равно русский!Использование дифференциальных уравнений с самого начала было
сопряжено с идеей устойчивых законов природы, пользуясь знанием кото-
рых можно было бы ОДНОЗНАЧНО ПРЕДСКАЗЫВАТЬ БУДУЩЕЕ. Иными
словами, с детерминацией настоящим будущего. Опять же мы не станем
вдаваться в описание отличия такого математического предсказания от
предсказаний астрологических, жреческих, индуктивных, идущих от тай-
ного знания, нормативных и т.п. Соответствующая самая общая и закон-
ченная постановка вопроса была дана Лапласом и получила название "лап-
ласовский детерминизм". Но о самой крайней и всеобъемлющей постанов-
ке мы тоже будем говорить мало, нас будет интересовать умеренная при-
менимость идеи детерминации в более ограниченной форме. (конец цитаты)Направление развития математики предложенное Коэном в его книге, привело к принципиально новым идеям и результатам в ряде направлений функционального анализа, прежде всего к теории пространств Канторовича , в теории алгебр фон Неймана , в выпуклом анализе и теории векторных мер. Читательский интерес и стремительное развитие самой дисциплины рождают задачу отразить современное состояние дел в этих и других областях, одной из них является теория вероятностей(см. Нельсон Э. Радикально элементарная теория вероятностей, УДК 519/2; Пер. с англ. — Новосибирск: институт математики СО РАН.)
В этой книге выдающегося американского математика предлагается принципиально новый подход как к изложению основ, так и продвинутых тем теории вероятностей. Автору удалось предложить очень простую и в то же время весьма мощную «частотную» версию теории, использующую идеи современного инфинитезимального (нестандартного) анализа.

Элементарность изложения делает книги Коэна П. и Нельсона Э. доступными широкому кругу студентов, преподавателей и научных работников всех специальностей, интересующихся теорией нестандартного анализа или применяющих ее.
Одноко в данной работе мы затронем эти проблемы вскользь: как области применения нестандартного анализа. При работе над книгой, которая не является фундаментальным изложением теории нестандартного анализа, а является лишь введением к нему, где автор ставит задачу побудить массового читателя к изучению и применению теории, выяснилось, что остаться в прежних рамках уже невозможно: надо говорить и о булевозначном анализе, и о приложениях нестандартных методов к теории векторных решеток, и о инфинитезимальном анализе, и о приложениях к топологии, оптимизации и гармоническому анализу.
Глава 1. Актуальные бесконечно малые величины

Нестандартный анализ — раздел математической логики,
посвященный приложению теории нестандартных моделей
к исследованиям в традиционных областях математики:
математическом анализе, теории функций,
теории дифференциальных уравнений, топологии и др.
ВикипедиЯ
(http://ru.wikipedia.org/wiki/Нестандартный_анализ)

Идея инфинитезимали — актуальной бесконечно малой величины — восходит к эпохе античности. В наше время после примерно полувекового перерыва инфинитезимальным понятиям уделяется все большее внимание внутри современной математики. Бесконечно большие и бесконечно малые числа, математические атомы — «неделимые» монады (см. С. С. Кутателадзе НЕКОТОРЫЕ ТЕНДЕНЦИИ В МОНАДОЛОГИИ, Труды конференции «Геометрия и приложения» 13 — 16 марта 2000 г., Новосибирск.).
В монографии, в частности говорится: «Монадология рассматривается как арена взаимодействия современного нестандартного анализа в его булевозначном и инфинитезимальном вариантах. Нестандартные методы анализа в известном смысле распадаются на две основные дисциплины: инфинитезимальный анализ, известный также как робинсоновский нестандартный анализ, и булевозначный анализ. У названных дисциапин есть общая черта: каждая осуществляет сравнительное изучение двух интерпретаций математического утверждения или конструкций в двух различных моделях теории множеств, рассматриваемых как формальное символическое выражение одной — стандартной и другой — нестандартной».
Иногда представляется плодотворным комбинировать теоретические конструкции — эти методы все чаще фигурируют в различных публикациях, входят в математическую практику. Поворотный пункт в развитии инфинитезимальных концепций связан с выдающимся достижением А. Робинсона — созданием нестандартного анализа. Около полувека нестандартный анализ рассматривали как довольно тонкую и даже экзотическую логическую технику, предназначенную для обоснования метода актуальных бесконечно больших и бесконечно малых чисел. Считалось также, что эта техника имеет ограниченную сферу применимости и в любом случае принципиально не может привести к серьезному пересмотру общематематических представлений В свете новых открытий нестандартные элементы стало возможно рассматривать не как «мнимые, глухие, идеальные сущности», добавляемые к обычным множествам из соображений формального удобства, а как неотъемлемые части любых привычных математических объектов. Возникла установка, состоящая в том, что каждое множество образовано стандартными и нестандартными элементами. В свою очередь, стандартные множества формируют своеобразную реперную сетку, плотно расположенную в совокупности всех предметов изучения математики. При этом обнаружилось, что фигурирующие в нестандартном математическом анализе объекты — монады фильтров, стандартные части чисел и векторов, тени операторов и т. п. — составляют «канторовские» множества (по имени знаменитого математика Георга Кантора являющегося отцом теории множеств), не попадающие ни на одну из канонизированных картин, рисуемых известными формальными теориями множеств. Универсум фон Неймана не исчерпывает мир классической математики — вот одно из очевидных следствий новых воззрений. Таким образом, традиционные взгляды на нестандартный анализ нуждающиеся, по меньшей мере, в ревизии, потребовали переосмысления инфинитезимальных концепций. Важным достоинством возникших путей стал аксиоматический подход, дающий возможность овладеть аппаратом нестандартного математического анализа без предварительного изучения техники ультрапроизведений, булевозначных моделей или их аналогов. Выдвинутые в этом случае аксиомы просты в обращении и отчетливо мотивируются на содержательном уровне в рамках привычной для анализа «наивной» теоретико-множественной установки. В то же время они существенно расширяют круг математических объектов, создают возможности развития нового формального аппарата, позволяют значительно уменьшить опасные разрывы между представлениями, методическими установками и уровнями строгости, принятыми в математике и ее приложениях к естественным и социальным наукам. Иначе говоря, аксиоматическое теоретико-множественное обоснование нестандартного математического анализа имеет общенаучное значение. Хочу предостеречь здесь читателя от излишней эйфории по поводу аксиом: раз непротиворечивая их система составлена, то дисциплина, для которой это сделано замкнута и истина нам гарантирована, это не так. Ничто не вечно под луной. И вот появляется знаменитый математик, логик, оригинальный человек – КУРТ ГЕДЕЛЬ.
В 1947 г. К. Гёдель отметил: «Могут существовать аксиомы, столь богатые проверяемыми следствиями, проливающие такой яркий свет на всю дисциплину и доставляющие настолько сильные методы решения задач (даже, насколько это возможно, решающие их в каком-либо конструктивистском смысле), что совершенно безотносительно к их внутренней необходимости эти аксиомы придется принять хотя бы в том же смысле, в каком принимают любую основательную физическую теорию». Предсказание К. Гёделя сбывается на наших глазах. Цель данной работы — сделать более доступными появившиеся пути в нестандартный анализ. Для достижения этой цели мы начинаем с изложения содержательных качественных представлений о стандартных и нестандартных объектах, об аппарате нестандартного анализа на «наивном» уровне строгости, абсолютно достаточном для эффективных применений без апелляции к логическим формализмам. В настоящее время ученые решают также вопросы с современным аксиоматическим построениям нестандартного анализа в рамках канторовской установки.
При этом прошу не забывать, что в данной работе мы сочли возможным значительное место уделить идейной и исторической стороне дела, что определило специфику изложения.
Собранные в книге исторические сведения, качественные мотивировки принципов нестандартного анализа и обсуждение их простейших следствий для дифференциального и интегрального исчисления составляют «наивное» обоснование инфинитезимального анализа. Формальные детали соответствующего аппарата нестандартной теории множеств собраны в работе (Коэн П. ОБ ОСНОВАНИЯХ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ 1971 г. сентябрь—октябрь т. XXIX, вып. 5(179} успехи математических наук, УДК 519.5).
Веским доводом в пользу известной концентричности изложения служат замечательные слова Н. Н. Лузина в работе «Интеграл и тригонометрический ряд» —«Математический анализ вовсе не есть совершенно законченная наука, как иногда склонны себе его представлять, с раз навсегда найденными принципами, из которых только остается извлекать дальнейшие следствия...». В современной математике также представлены инфинитезимальные методы в общей топологии и субдифференциальном исчислении, в решении проблем приближения бесконечномерных банаховых пространств (названных в честь знаменитого математика СТЕФАНА БАНАХА ), и операторов в них, конечномерными пространствами и матрицами.
Разумеется, размерность аппроксимирующего пространства является здесь бесконечно большим числом. Применяют нестандартный анализ и инфитиземалии в проблемах, относящихся к гармоническому анализу на группах, в нестандартной технике приближения локально компактных групп и соответствующих преобразований Фурье .
Как мы уже достаточно ясно поняли: идея инфинитезимали — актуальной бесконечно малой величины — восходит к эпохе античности. Повторимся, но это важно: в наше время после примерно полувекового перерыва инфинитезимальным понятиям уделяется все большее внимание внутри современной математики. Бесконечно большие и бесконечно малые числа, математические атомы — «неделимые» монады — все чаще фигурируют в различных публикациях, входят в математическую практику. Поворотный пункт в развитии инфинитезимальных концепций связан с выдающимся достижением А. Робинсона — созданием нестандартного анализа.. В конце 70-х годов после опубликования теории внутренних множеств Э. Нельсона (и несколько позже теорий внешних множеств К. Хрбачека и Т. Каваи) взгляды на место и роль нестандартного анализа коренным образом обогатились и видоизменились. В свете новых открытий нестандартные элементы стало возможно рассматривать не как «мнимые, глухие, идеальные сущности», добавляемые к обычным множествам из соображений формального удобства, а как неотъемлемые части любых привычных математических объектов.
Выше мы уже говорили о том, что каждое множество образовано стандартными и нестандартными элементами. Если учесть, что стандартные множества формируют своеобразную реперную сетку, плотно расположенную в совокупности всех предметов изучения математики, то напрашивается приложение к современным теориям построения мироздания, основанным на клеточных автоматах(см. Пименов – Мы живем на экране сверхдисплея) При этом обнаружилось, что фигурирующие в нестандартном математическом анализе объекты —- монады фильтров, стандартные части чисел и векторов, тени операторов и т. п. — не подпадают ни под одну из канонизированных картин, рисуемых известными формальными теориями множеств. Мир классической математики оказался более широким в своей адекватности отражения картины мироздания — вот одно из очевидных следствий рождения альтернативных классической физике теорий зарождения, развития и коллапса вселенных. Таким образом, традиционные взгляды на нестандартный анализ стали нуждаться, по меньшей мере, в ревизии, потребовали переосмысления инфинитезимальных концепций. Важным достоинством возникших путей стал аксиоматический подход, дающий возможность овладеть аппаратом нестандартного математического анализа без предварительного изучения техники ультрапроизведений, булевозначных моделей или их аналогов. Выдвинутые аксиомы просты в обращении и отчетливо мотивируются на содержательном уровне в рамках привычной для анализа «наивной» теоретико-множественной установки. В то же время они существенно расширяют круг математических объектов, создают возможности развития нового формального аппарата, позволяют значительно уменьшить опасные разрывы между представлениями, методическими установками и уровнями строгости, принятыми в математике и ее приложениях к естественным и социальным наукам. Иначе говоря, аксиоматическое теоретико-множественное обоснование нестандартного математического анализа имеет общенаучное значение. В 1947 г. Курт Гёдель утверждает, что никакая достаточно мощная формальная система не может быть совершенна — то есть способна представить любое истинное высказывание в виде теоремы — это кажется дефектом только тогда, когда мы предъявляем слишком высокие требования к возможностям формальных систем. Однако для математиков начала столетия подобные завышенные требования были обычным делом; в то время во всемогуществе логических рассуждений никто не сомневался. Доказательство обратного было найдено в 1931 году. Тот факт, что в любой достаточно сложной формальной системе истинных утверждений больше, чем теорем, называется "неполнотой*' этой системы. Удивительно то, что методы рассуждения, используемые Гёделем в его доказательстве, по-видимому, невозможно заключить в рамки формальных систем. На взгляд автора Гёделю впервые удалось выразить необычайно глубокую и важную разницу между человеческой логикой сознания и логикой ума. Последнюю мы представляем как машинный алгоритм, что не умаляет достижений Курта Геделя. Это загадочное несоответствие между мощью живых и неживых систем отражено в несоответствии между понятием "истинности" сознания и ума человека.(см. Амит Госвами. «Самосознающая вселенная», Открытый мир, ГАНГА, М., 2008)

Теория К. Гёделя, выдвинутая им как чисто формальная математика, вернее математическая логика, теория моделей, работает и сбывается в окружающем нас мире на наших глазах . Исходя из вышесказанного автор определил цель настоящего сочинения — сделать более доступными появившиеся пути в нестандартный анализ через наше сознание. Всем кого заинтересует это направление в математике, то для достижения этой цели мы начинаем с изложения содержательных качественных представлений о стандартных и нестандартных объектах, об аппарате нестандартного анализа на «наивном» уровне строгости, абсолютно достаточном для эффективных применений без апелляции к логическим формализмам. Затем приводится краткий справочный материал, относящийся к современным аксиоматическим построениям нестандартного анализа в рамках канторовской установки теории множеств . При этом мы сочли возможным значительное место уделить идейной и исторической стороне дела, что определило специфику изложения. В этом же плане шел и подбор исторических сведений, которые влияли на качественные мотивировки принципов нестандартного анализа и использовались классиками математического анализа при обсуждении их простейших следствий для дифференциального и интегрального исчислений. Все приведенные высказывания составляют «наивное» обоснование инфинитезимального анализа. Веским доводом в пользу известной концентричности изложения служат замечательные слова Н. Н. Лузина : «Математический анализ ничем не отличается от всякой другой науки и имеет свой ход идей, движущийся не только поступательно, но и кругообразно, с возвращением к группе прежних идей, правда всегда в новом освещении » У академика Лузина Н.Н. впервые просматривается философский аспект проблем инфинитиземального анализа. Достаточно ясно он выразился в предисловии к своему «Дифференциальному исчислению». То же мы видим и у классиков нестандартного анализа. П. Дж. К о э н: «Высказываться о философских проблемах теории множеств,— разумеется, не совсем то, что высказываться о самой теории множеств. Я, по крайней мере, в этом положении чувствую себя непривычно и неловко. Я остро ощущаю тщетность попыток сформулировать позицию, приемлемую для всех или хотя бы для многих, и одновременно сознаю непоследовательность и трудности моей собственной точки зрения. Конечно же, те, кто до меня совершали этот рискованный переход от математики к философии, обычно шли на это на более позднем этапе своей научной карьеры. Наконец, к довершению трудностей, почти немыслимо добавить что-нибудь новое к этому старому спору. В самом деле, я склонен думать, что на такие фундаментальные вопросы любые технические достижения почти не проливают света — хотя, конечно, они могут повлиять на распространение той или иной точки зрения. Но вот, невзирая на все эти оговорки, я чувствую некоторое воодушевление от возможности высказать свои мысли, надеюсь, не слишком догматично, и указать на обстоятельства, на которые, пожалуй, следует указать. Фундаментальные открытия в логике были сделаны так недавно, что мы еще в состоянии разделять глубокое волнение от этих поисков вслепую. Всплеск исследовательской активности в теории множеств, о котором свидетельствует нынешняя встреча, возможно, усиливает наш энтузиазм. Тон сегодняшних философских дискуссий, однако, как будто изменился. Возможно, математики полностью выложились в неистовых спорах прошлого, или их аудитория утомилась от полемики,— как бы то ни было, сейчас принято формулировать свою точку зрения, но не пытаться тут же обращать слушателя в собственную веру. В этом духе собираюсь выступить и я, чистосердечно уверив слушателей в своей терпимости к чужим взглядам. Хотя я не представляю себе, что можно было бы назвать «истинным» прогрессом в основаниях математики, очень интересно проследить с точки зрения историка, как высказывались на эту тему разные поколения, и попытаться угадать, как окрашивал их мнения дух времени» [P. J. Cohen, Comments on the foundations of set theory, Proc. Sym. Pure Math... 13: 1 (1971), 9—15. Перевод с английского выполнен Ю. И. Маниным.]
Теперь нам целесоообразно провести небольшой экскурс в историю математического анализа.
Речь идёт об одинаковом геомагнитном информационном поле, или алгоритме, общем для эволюции невральных структур Пифагора, Платона, Зенона и Теслы.

РЕКОМЕНДОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Успенский В.А. Что такое нестандартный анализ? – М., Наука, 1987. – 128с.
2. Девис М. Прикладной нестандартный анализ. – М., Мир, 1980.
3. Успенский В.А. Нестандартный, или неархимедов, анализ. – М., Знание, 1983. 61 с. (Новое в жизни, науке, технике. Сер. "Математика, кибернетика” № 8 ).
4. Успенский В.А. Нестандартный анализ // Наука и жизнь, 1984. – №1. – с. 45-50.
5. Робинсон А. Введение в теорию моделей и математику алгебры. пер. с англ. – М., Наука, 1967.

ПРИЛОЖЕНИЯ (КОНЦЕВЫЕ СНОСКИ)